Así suena el Álgebra

Pitágoras y la idea de que la música tiene "Proporciones"

Nos remontamos hace más de dos mil años, Pitágoras descubrió algo sorprendente, si dos cuerdas tienen longitudes que guardan una proporción simple —por ejemplo 2:1, 3:2 o 4:3— al hacerlas vibrar producen sonidos que combinan muy bien, hoy reconocemos estos intervalos como:

● Octava: 2:1

● Quinta: 3:2

● Cuarta: 4:3

Es decir que cuando una nota vibra el doble de rápido que otra, la mayoría de las personas la percibe como un sonido "igual pero más agudo". Esto permitió pensar en la música como algo que se puede describir con números.

Aunque todo esto pueda sonar muy teórico, en realidad está muy presente en cualquier instrumento musical como pianos, guitarras, flautas, sintetizadores y están diseñados para seguir proporciones numéricas bien definidas.

La idea de Pitágoras abrió la puerta para ver la música como un objeto de estudio matemático y no sólo como arte.

La música como sistema algebraico

Cuando los matemáticos dicen que "la música tiene estructura algebraica", se refieren a algo bastante sencillo, la música es un conjunto de elementos (notas, ritmos, acordes) que pueden transformarse siguiendo reglas.

Estas reglas pueden incluir:

• ● Trasladar todas las notas hacia arriba o abajo (transponer),

• ● Reflejar la melodía como en un espejo (invertir),

• ● Reproducirla al revés

• ● Repetir patrones,

• ● Combinar ideas musicales como si fueran piezas de Lego.

Todas estas operaciones pueden estudiarse en conjunto, y cuando las analizas como un sistema completo, resulta que cumplen propiedades muy parecidas a las que estudia el álgebra, como tener reglas claras, permitir combinaciones y producir resultados consistentes.

En entrevistas, Emilio Lluis-Puebla explica que estas transformaciones pueden organizarse como grupos algebraicos, que no son nada más que colecciones de operaciones donde siempre puedes "aplicar una operación después de otra" sin salirte del sistema.

Pero nos basta con entender la idea intuitiva de que la música funciona como un sistema donde puedes transformar ideas de muchas formas distintas, y esas transformaciones tienen estructura matemática.

El sonido digital como un objeto algebraico

Hoy casi toda la música que escuchamos llega en formato digital. Esto significa que el sonido que originalmente es una onda continua se convierte en números.

Literalmente una canción es una larga lista de números que indican qué tan fuerte es el sonido en cada instante.

Si agrupamos estos números de manera ordenada, lo que obtenemos son vectores y matrices:

● Un vector es sólo una lista de números.

● Una matriz es una tabla de números organizada en filas y columnas.

¿Por qué importa esto?

Porque todo lo que un software de música hace como mezclar voces, agregar efectos, ajustar graves, hacer autotune, etc, se basa en transformar esos vectores por medio de matrices.

Es decir, cuando editas una canción, el programa está haciendo operaciones algebraicas sin que tú lo notes.

Eso es exactamente lo que hace un ecualizador digital. Nada de magia, pura álgebra.

Imagina ahora miles o millones de vectores como este pasando por matrices más complejas. Eso es una canción en proceso de edición.

Modelos algebraicos en composición y análisis musical

Los investigadores han descubierto que puedes describir ideas musicales como notas, acordes, melodías, ritmos, etc, como objetos que viven dentro de un espacio con reglas matemáticas.

Estas reglas permiten:

• ● comparar dos melodías y ver si son equivalentes mediante una transformación,

• ● generar variaciones automáticas de una idea musical,

• ● analizar por qué ciertos acordes funcionan bien juntos,

• ● estudiar patrones como en obras de Bach, Mozart o música más reciente

Por ejemplo, si tienes una melodía:

3 - 5 - 6 - 5

puedes transponerla sumando el mismo número a todo, por ejemplo $+2$:

5 - 7 - 8 - 7.

La idea musical es la misma, sólo que más aguda y esto es básicamente una transformación algebraica básica.

Si reflejas los intervalos obtienes la inversión. Si la lees al revés tenemos el retrogradado. Ambos son usados en música clásica, dodecafónica y contemporánea.

David Lewin estudió todas estas transformaciones como acciones en una estructura llamada grupo. Guerino Mazzola extiende estas ideas a un marco más amplio, por lo que de ambos podemos obtener la siguiente afirmación:

La música puede describirse como un conjunto de objetos conectados por transformaciones. Ese conjunto funciona como una estructura algebraica.t

Conclusión

La música puede disfrutarse sin comprender nada de matemáticas, pero la matemática permite explicar por qué ciertas notas funcionan juntas, cómo es posible manipular el sonido digitalmente, y por qué un programa puede transformar una voz común en una perfectamente afinada.

El álgebra ha acompañado a la música desde la antigüedad, pero hoy es más importante que nunca porque impulsa desde la teoría musical hasta la producción profesional que escuchas todos los días.

Escuchar música es en cierto modo, escuchar matemáticas convertidas en arte.

Referencias

• Fauvel, J., Flood, R., & Wilson, R. (2006). Music and Mathematics: From Pythagoras to Fractals. Oxford University Press.

• Lewin, D. (1987). Generalized Musical Intervals and Transformations. Yale University Press.

• Lluis-Puebla, E. (2022). Estructuras algebraicas en la teoría matemática de la música. Instituto de Matemáticas, UNAM.

• Mazzola, G. (2012). The Topos of Music: Geometric Logic of Concepts, Theory, and Performance. Springer.

• Tenney, J. (1988). A History of Consonance and Dissonance. Excelsior Music Publishing.