El Aleph y lo (In)Existente de las Matemáticas

Al leer el cuento por primera vez, no pude evitar pensar que la experiencia de la mayoría de las personas que no hemos vivido ningún suceso paranormal dictaminaría la existencia del Aleph como ficticia, un mero cuento creado por la pluma de una suerte de genio disparatado; no obstante, después de reflexionar un poco sobre la (in)validez de mis prejuicios, recordé que, afortunadamente, estudio matemáticas y que, precisamente, esta ciencia formal basa su generación de conocimiento en seres que son igual o más alocados que el Aleph descrito en el cuento homónimo. ¿Quién ha visto de frente al número 2 o a un rectángulo 1?

La primera mitad de este breve artículo pretende interpretar, a través de analogías basadas en las matemáticas, la posible extensión espacial del ente que Borges describe en algunos pasajes del cuento. La segunda mitad tiene como objetivo hacer una invitación a reflexionar sobre nuestras maneras de conocer lo matemático; todo esto tomando como excusa la revelación de la eternidad a través del Aleph a los ojos de Borges.

¿El todo es más grande que las partes?

Los números infinitos (o, en un término un tanto más matemático, transfinitos) son una colección de números definidos por el matemático alemán Georg Cantor para determinar la cantidad de elementos que poseen las colecciones de números naturales, enteros, racionales y reales. Precisamente, el primer hecho que me voló la cabeza en mis inicios de la licenciatura fue que, de acuerdo con el razonamiento de Cantor, las colecciones de números naturales, enteros y racionales ¡resultan tener la misma cantidad de elementos! (una ilustración bastante linda puede encontrarse en el siguiente vídeo).

Lo anterior parecería un tanto antiintuitivo; el razonamiento coloquial nos diría que es imposible que nuestra afirmación sea verdadera, pues los naturales son solo una parte de los enteros y los enteros son solo una parte de los racionales. Sin embargo, Cantor también probó que los infinitos de los números reales y de los naturales son distintos; es más, la cantidad de números reales que existen en el intervalo [0,1] es la misma que la que tiene toda la recta de números reales, lo que, de un modo un tanto más poético, nos daría la capacidad de tener el infinito en la palma de una mano. Los hechos están dados y las pruebas de Cantor, al menos en este rubro, parecen sensatos. Entonces, ¿qué es lo que está sucediendo?

Figura 1: Jorge Luis Borges (1899-1986) fue un escritor argentino, dedicado principalmente al cuento. Sus principales obras son Ficciones (1944) y El Aleph (1949).

Las ideas de Cantor muestran que las partes de un todo pueden tener la misma extensión que el todo mismo sin dejar por ello de ser partes. Lo anterior se da en términos análogos una y otra vez en el texto: cuando se describe la forma que tiene el Aleph —“un punto que contiene a todos los puntos del espacio”— posiblemente se está haciendo referencia a la cuestión del todo contenido en una parte… ¡incluso en sí mismo! Un momento que contiene todos los momentos presenta una situación muy similar a lo que pasa entre el intervalo [0,1] y todos los números reales.

Podemos seguir encontrando similitudes si analizamos los estragos que el Aleph causó en Borges y las preguntas que la teoría del infinito trajo a la comunidad matemática. Por un lado, Borges siente rechazo hacia el Aleph después de ver reducida toda la vida a un pequeño instante en el que todo se vive de manera simultánea, pues dicha experiencia, aunque rica en información, falla en hacer sentir al espectador lo que la vida en su flujo actual ofrece: unidad con la conciencia, capacidad de distinguir entre un momento y otro, pero, sobre todo, la capacidad de alargar los momentos de contemplación estética que nos dotan de identidad.

Por otro lado, el infinito creado por Cantor les parecía a los matemáticos de la época una teoría de poca elegancia en comparación con la teoría de los números naturales, que nos permitía contar perfectamente, o con la de los números reales, que nos permite describir el movimiento de la naturaleza a través de funciones que representan estados de cambio. Cantor creaba un exceso de objetos que nunca podríamos conocer dada su naturaleza y que no tenían lugar en el mundo. Lo mismo que el Aleph para Borges, el infinito causaba repulsión a los matemáticos por su extensión paradójica y, a la vez, por la manera sencilla de acceder a él 2.

Figura 2: Georg Cantor (1845-1918) fue un matemático alemán conocido principalmente por haber sentado las bases de la teoría de conjuntos y por haber desarrollado la aritmética de los números infinitos. Aleph (ℵ) es la primera letra del alfabeto hebreo y, para efectos de la teoría de Cantor, simboliza a los números infinitos; ℵ₀ representa el tamaño del conjunto de todos los números naturales y ℵ₁ el tamaño de los reales.

Ficciones

El Aleph es, a todas luces, un ser inexistente, pero que ha tenido repercusiones acerca de cómo concebimos el infinito, la imaginación y la literatura. Está ahí para recordarnos que los intentos de apresarlo nunca serán exitosos, pues la eternidad siempre será algo que nos será negado, ya que, aunque el infinito se nos revelara, nuestro lenguaje no alcanzaría para aprehender algo que escapa de nuestra naturaleza; el cuento es una prueba de ello. Un objeto inexistente tiene consecuencias en el mundo real. Lo anterior puede parecer un tanto reiterativo, pero, ¿acaso las matemáticas no suelen ocuparse también de seres extremadamente extraños para explicar fenómenos de la realidad?

Suele darse por sentado que las personas que trabajamos con objetos matemáticos creemos que dichos objetos existen en algún lugar que no es nuestro espacio-tiempo, sino en una especie de reino matemático o mundo de las ideas. De ahí que la postura descrita sea denominada platonismo matemático; sin embargo, no es la única posición en cuanto al estado existencial de los objetos matemáticos, pues, por otro lado, tenemos al ficcionalismo matemático, el cual afirma que los objetos matemáticos no existen y que, por tanto, los juicios que se hagan acerca de los mismos son falsos. Lo interesante es que su estado de falsedad no les quita su carga informativa. Nuevamente tenemos que lo (posiblemente) inexistente tiene consecuencias en lo real 3.

Comparo la similitud de los personajes u objetos de los cuentos con los objetos matemáticos porque me parece que el quehacer científico y la literatura tienen más en común de lo que en primera instancia se podría pensar. Pareciera que ambos son dirigidos por una fuerza creativa y humana que les permite escapar de una reducción técnica o lógica, y que son maneras de narrar una historia con personajes que requieren de una imaginación impresionante para siquiera soñarlos. Los matemáticos y los literatos somos una suerte de demiurgos que hablan a través de los signos para hacer al público partícipe de la ciencia y el arte.

En conclusión, el Aleph y los números (funciones, conjuntos, espacios topológicos, etc.) se parecen en que no existen y, aun así, logran crear narrativas que nos ayudan a entender y actuar ante el mundo. La literatura nos puede dar una brújula moral, alivio existencial, placer, dolor; mientras que las matemáticas ofrecen una especie de mapa que nos ayuda a ubicarnos en el espacio, el tiempo y algunas estructuras del pensamiento. Ambos nos ayudan a situarnos de manera práctica en la vida y, posiblemente, el entendimiento de ambos mejorará si los empezamos a tratar como similares y no como extremos opuestos.

Notas a pie de página:

1Alguien podría argumentar que en todo momento estamos viendo a los números de frente, pues siempre estamos contando objetos como frutas, lápices, gatos, entre otros; sin embargo, que yo tenga tres gatos no quiere decir que tenga al número tres de frente, simplemente significa que tengo a tres gatos. El concepto de 3 es una noción mucho más general que difícilmente sería abarcada en su totalidad por un grupo de tres objetos.

Algo similar ocurre si intentamos dibujar un círculo, dado que dicho objeto no terminaría por ser un círculo estrictamente, pues el gis, plumón o lápiz, aunado a la superficie sobre la cual desarrollemos el trazo, generarían imperfecciones (casi seguramente imperceptibles en primera instancia) que nos impedirían llamar “círculo” a nuestro trazo. Si el lector quiere adentrarse más en este tipo de discusiones, puede consultar [1]

2 Hasta el día de hoy, la teoría del infinito sigue causando revuelo, pues ha abierto un debate interesante sobre la estructura del espacio (¿es continuo o es discreto?) y sobre la estructura de los infinitos (¿tienen la misma estructura que los números naturales?). Para ampliar la discusión, el lector puede revisar [3]

3 Para una defensa y crítica del ficcionalismo, el lector puede consultar [1] y [4] respectivamente

Referencias
[1] M. Balaguer. Realism and anti-realism in mathematics. In Handbook of the Philosophy of Science. Philosophy of Mathematics. Elsevier, 2009.
[2] J. L. Borges. El Aleph. Penguin Random House Grupo Editorial, 2022.
[3] G. Chaitin. El número Omega. Tusquets Editores, 2015.
[4] S. Meléndez-Gutiérrez. Fiction and Fictionalism. PhD thesis, Queens’ College, University of Cambridge, 2023.
[5] G. Priest. Towards Non-Being: The Logic and Metaphysics of Intentionality. Oxford University Press, 2005.