El camino desde Königsberg hasta los días modernos

¿Quién fue Leonard Euler?

Nacido en Suiza el 15 de abril de 1707. Inició sus estudios en la Universidad de Basilea donde aprendió sobre medicina, astronomía, física, matemáticas y teología. Ganador en varias ocasiones de la mención honorífica de la Academia de las Ciencias de París. Pionero en el análisis matemático y de la geometría analítica de tres dimensiones, realizó numerosas publicaciones de sus investigaciones, siendo un aproximado de 886 obras. Introdujo notación matemática que es usada a día de hoy, como la letra "i" para denotar a la unidad imaginaria y e para indicar la base del logaritmo neperiano. También se conoce como la Recta de Euler a la línea donde el ortocentro, baricentro y circuncentro están alineados.

En el año de 1738 Euler pierde parcialmente la vista, pues se volvió ciego de su ojo derecho y años mas tarde, en 1766 queda completamente ciego. A pesar de esta condición logró continuar con su trabajo, incluso, en 1768 publica Cartas a una Princesa Alemana, las cuales consistían en explicar de una manera más sencilla algunos conceptos científicos. Más aún, era considerado como un hombre de familia, pues tuvo trece hijos, aunque lamentablemente solamente cinco de ellos lograron desarrollarse hasta la adultez. Euler muere en San Petersburgo el 7 de septiembre de 1783.

El enigma de los puentes de Könisberg

Ahora bien, Euler lograba inspirarse de algo tan común como lo es un paseo por las calles de la ciudad donde residía. De esta manera fue que un día se preguntó, ¿Es posible recorrer cada puente de Königsberg sin repetirlo y regresar a mi punto de partida? Así, con esa pregunta que pareciera fácil de responder, se originó la Teoría de Gráficas y él sería considerado el padre de dicha teoría.

En la antigua Königsberg, ciudad donde se aloja el río Pregel, se ubican siete puentes que conectan diferentes lugares de la ciudad. Es ahí donde Euler, al caminar por cada uno de los puentes se imaginaba un camino en el cual recorrer cada puente una sola vez y regresar al punto de partida. El contexto que tenía frente a él se puede apreciar en la siguiente imagen:

Ahora bien, Euler logró extraer el desafío que tenía ante el y lo hizo a través de un diagrama como el que se muestra a continuación

Como podemos ver, transformó los puentes en líneas (conocidos como aristas) y cada región de tierra en un punto (conocido como vértice o nodo). Así que al realizar intento tras intento para lograr su objetivo, se dio cuenta que siempre quedaba un puente sin recorrer. Ahora bien, como muestra la Figura 3, cada uno de los puntos tiene una cantidad impar de líneas conectándose entre sí, provocando que fuera imposible hallar el camino deseado al no encontrar una manera de equilibrar tanto salidas como entradas en cada uno de los puntos. La hipótesis a la que Euler acababa de llegar y la forma en la que abordó el problema daría vida a una nueva rama de las matemáticas que hoy conocemos como teoría de gráficas o grafos.

Del pasado al presente

Desde aquellos puentes de Königsberg donde toda la teoría de gráficas nació, con el paso del tiempo ha ido transformándose, mutando, adaptándose a las nuevas necesidades que los humanos vamos teniendo al paso de los años. La idea de representar problemas a través de vértices y aristas modificó la forma de atacar problemas en áreas diversas como sistemas de transporte, circuitos electrónicos o en redes sociales. Cuando estamos en Amazon buscando artículos, ¿alguna vez te has preguntado cómo es que la aplicación sabe que recomendarte? Lo que esta detrás de esas recomendaciones es la teoría de gráficas, pues cada objeto y persona son representados como un vértices, mientras que los objetos que incluyes en tu compra final o que simplemente les diste un vistazo son las aristas que van uniendo hacia otros artículos (vértices), con lo cual es posible hacer las recomendaciones personalizadas para que te interese llevar más objetos que pueden ser de tu agrado al momento de realizar la compra.

De una manera similar, es que recibes las notificaciones sobre personas o grupos como sugerencia de amistad en X, Instagram o cualquier red social. Notemos que, si bien es una poderosa herramienta en campos como el comercio y el comportamiento de las redes sociales, también podemos encontrar valiosas aportaciones en rubros como lo son las rutas de transporte público como en el metro de la CDMX o las rutas que nos propone Google Maps al querer alcanzar un destino. Si nos mantenemos en esta área, un claro ejemplo de los usos que puede tener esta área de las matemáticas es el siguiente: Consideremos que estamos al frente de una empresa de paquetería como DHL, nuestra meta es transportar los paquetes a sus destinos con la mayor rapidez posible, pero con el costo más pequeño posible para aumentar las ganancias de la empresa.

Es entonces cuando, si vemos a los lugares donde deseamos transportar dichos paquetes como vértices y los caminos que tenemos que recorrer los representamos como aristas, encontramos, a través de ciertos algoritmos (Dijkstra) que nos permiten encontrar las rutas más cortas entre nuestros nodos, permitiendo optimizar los gastos de la empresa y la optimización del tiempo empleado en el transporte. Ejemplos como los anteriores nos muestran cómo es que lo que nació como un paseo por una ciudad, se convirtió en algo mucho más grande, en una nueva rama de las matemáticas.

Aún quedan retos por resolver, muestra de ello es el mejoramiento de los chips electrónicos con los que cuentan los dispositivos que usamos a diario o el estudio de compuestos químicos a través de la representación en un gráfica. Así, el desarrollo de la teoría de gráficas seguirá siendo clave para el desarrollo de otras áreas con el fin del beneficio para la humanidad y el mundo que habitamos

Referencias:

Alvarez Nuñez, M. F. (2013). Teoría de grafos. Apple, K., & Haken, W. (2009). Siete puentes, un camino: Königsberg. Revista suma, 45, 69-78.

Giraldo, S. R., Méndez, N. D. D., & Zuluaga, J. I. (2013). Difusión de productos a través de redes sociales: una revisión bibliográfica utilizando la teoría de grafos. Respuestas, 18(2), 28-42.

Allauca, J. E. (2023). Aplicación de la teoría de grafos en la optimización de redes de transporte. Ciencia Inteligente, 1(1), 1-14.

Durand Niconoff, J. S., Hernández Matus, M., & Juárez Cerrillo, S. F. (2025). Teoría de grafos y algunas aplicaciones: matemática útil en la vida diaria. Pregones De Ciencia, 1(6), 34–39. Recuperado a partir de https://pregonesdeciencia.uv.mx/index.php/pregones/article/view/409