La proporción áurea y la música: Béla Bartok

Es común pensar que existe una relación dicotómica entre la ciencia y el arte, llevándonos a pensar que las conexiones entre ellas son casi inexistentes y que los artistas tienden a ignorar por completo a las ciencias puras como la física o la matemática al crear una obra de arte o viceversa, que los científicos carecen de creatividad e imaginación para encontrar la solución a sus problemas e hipótesis. Pero podemos afirmar que esto no es necesariamente cierto, por ejemplo, existen muchos artistas, dígase, pintores, compositores, diseñadores, etc. que han buscado incorporar elementos de la naturaleza a través de un lenguaje muy particular, el de las matemáticas y no cabe duda de que muchos de los grandes científicos de nuestra época han hecho uso de la creatividad para poder encontrar la solución a diversos problemas.

Béla Bartók, el músico

Uno de los más claros ejemplos de esta simbiosis artístico-científica es Béla Bartók, uno de los compositores más destacados del siglo XX. Nacido en 1881 en Hungría, Bartók comienza su formación musical a la temprana edad de cinco años, siendo este el comienzo de una destacada carrera en la música, que no solamente incluía la composición, sino también la enseñanza y la interpretación.

Bartók tuvo un sistema de composición que se caracterizó por su complejidad además de ser un estilo repleto de elementos folclóricos, basado fuertemente en las variaciones dentro de una misma obra. Otro de los elementos característicos de muchas de las composiciones de Bartók es el juego con las armonías y los números, incluyendo, por supuesto, la inclusión de la proporción áurea como un recurso estructural en diferentes escalas. Cabe mencionar que Bartók mantuvo el secreto de su método de composición hasta su muerte, fue el teórico y musicólogo húngaro Ernö Lendvai propuso una teoría sobre el método de escalas que probablemente Bartók utilizaba.

Entre sus obras más famosas se encuentran:

• Danzas populares rumanas (obra para solista)

• El castillo de Barba Azul (ópera)

• El mandarín maravilloso (ballet)

• Música para cuerdas, percusiones y celesta (orquesta de cámara)

• Concierto para orquesta (orquesta)

  Bartók, el número de oro y la composición

  Como se mencionó anteriormente, Béla Bartók utilizó la proporción áurea como un recurso estructural en sus composiciones. En ocasiones este aparece ya sea dividiendo secciones temporales, o haciendo coincidir ciertos instrumentos o matices con un número particular de compás (el elemento que se usa para agrupar un número de notas o silencios en música), entre algunas cosas más.

  Pero antes de continuar debemos de preguntarnos, ¿Qué es la proporción áurea o número áureo?

  El número áureo, proporción áurea o número de oro es un número irracional, es decir es un número que no puede expresarse como el resultado exacto de una división entre dos números enteros. De manera particular este número es el resultado de dividir un número de la secuencia Fibonacci (llamada así por el matemático Leonardo de Fibonacci) por su predecesor, dando como resultado 1,61803. Este número se define como la proporción que guardan entre sí dos segmentos de rectas, se suele representar con la letra griega Phi (Φ), pero ¿Qué es lo que hace tan especial a este número irracional si sabemos que existe una cantidad infinita de ellos?

  Desde cientos de años atrás, la humanidad se ha encontrado con la secuencia de Fibonacci y con este número en diversos lugares, principalmente y de manera más llamativa, en la naturaleza, ya sea “oculto” o a plena vista. Un par de ejemplos podrían ser el caparazón de un caracol, los flósculos de los girasoles, la cantidad de pétalos en las flores e incluso alguna galaxia. De igual manera se suele relacionar a los elementos que cumplen con la proporción con ser bellos, ya sea visualmente o al menos geométricamente, esta razón ha llevado a artistas o arquitectos a incorporar la proporción áurea a sus obras y diseños, fuertemente inspirados en las estructuras y geometría de la naturaleza.

Dicho lo anterior, regresemos a la obra de Bartók y la manera en la que utilizó la proporción áurea en ella. Quizá el ejemplo más conocido de este (y sobre el cual existe cierta controversia aún respecto al uso de la proporción) es en la obra de 1936 de Bartók, Music For Strings, Percussion and Celesta. (Música para cuerdas, percusión y celesta)

Esta obra, se divide en cuatro movimientos

1. Andante tranquillo

2. Allegro

3. Adagio

4. Allegro molto

Ahora nos fijaremos particularmente en el primer movimiento, éste consta de 89 compases donde tenemos que los compases relevantes de este movimiento son el 21, 34, 55 y 89, donde notamos algo en particular, son números que pertenecen a la secuencia Fibonacci, es decir el número en cuestión es la suma de los dos números anteriores.

Notamos que Bartók utiliza la proporción áurea para añadir elementos e incluso influir directamente en la estructura del movimiento, tan solo fijémonos en un par de los compases que ya habíamos mencionado. En el compás 34 notamos que a los instrumentos de cuerda se les retira la sordina (Pieza que se coloca sobre el puente del instrumento para “suavizar” su sonido), haciendo un cambio en el matiz y timbre de estos, similarmente notamos que en el compás 55 se encuentra el clímax del movimiento.

Bartók hace coincidir ciertas partes de la composición con ciertas secciones de la secuencia Fibonacci, como lo son las secciones de las sordinas, el número de compases previo o después del clímax o incluso la estructura de arco que tiene el movimiento, formando una simetría del movimiento a partir del clímax, quizás no nota por nota, pero si estructuralmente. En el siguiente diagrama podemos verlo de una manera más clara.

Pero Bartók no sólo utilizó esta proporción para la estructura musical, sino también para el ritmo y la construcción de escalas y de acordes.

Otro ejemplo respecto a la construcción de ritmos de Bartók usando la serie Fibonacci podría ser la obra Mikrokosmos 101, en la cual considera los valores de las notas musicales y los va sumando de una manera similar a la serie Fibonacci. Que podemos describir de la siguiente manera:

En este caso sea 1 corchea nuestro valor más pequeño, entonces su sucesor serían 2 corcheas, después 3 corcheas (que sería equivalente a una negra ligada a una corchea) y después 5 corcheas (que sería una nota blanca ligada a una corchea), etcétera. Dándonos un ritmo basado en la secuencia Fibonacci. Sucede algo similar con la construcción de escalas y acordes, pero trabajando con un semitono como nuestra unidad más pequeña para las sumas de Bartók, hallando de esta manera segundas menores o mayores, terceras, cuartas y demás.

Béla Bartók y su obra nos resultan un gran ejemplo para la incorporación de las matemáticas al arte y viceversa, y aunque particularmente hablamos de música y en específico sobre la incorporación de la sección áurea esta vez, cabe resaltar que, así como existen músicos dedicados a incorporar elementos de las matemáticas a sus obras, también existen otros artistas que buscan hacer los mismo, ya sea en una pintura, una pieza musical, un edificio o incluso en poemas como les invitamos a leer en los demás artículos de este Blog. El arte y la ciencia no son ajenos y esperemos que nunca lo sean y siempre estén cerca y a nuestro alcance.

Referencias 

• France Musique, 25 mar 2019, Bartók: Musique pour cordes, percussion et célesta (Orchestre Philharmonique de Radio France), YouTube. (Consultado el 20 de agosto 2022) https://www.youtube.com/watch?v=HGJcsTtJ188&ab_channel=FranceMusique

• La proporción áurea, (26 de octubre 2009), Geocities, (Consultado el 22 de agosto de 2022) https://web.archive.org/web/20071109105452/http://es.geocities.com/antonio_risueno/proporcion_aurea.html

• Halász Péter, Bartók y La Sección Áurea, en e_Buah. (Consultado el 22 de agosto 2022) https://ebuah.uah.es/dspace/bitstream/handle/10017/22182/bartok_hal%C3%A1sz_QB_1995_N3.pdf?sequence=1&isAllowed=y

• Fernández, Tomás y Tamaro, Elena. «Biografia de Bela Bartok». En Biografías y Vidas. La enciclopedia biográfica en línea. Barcelona, España, 2004. (Consultado el 22 de agosto de 2022) https://www.biografiasyvidas.com/biografia/b/bartok.htm

• Hershberger Scott, Did Bartók use Fibonacci numbers in his music?, En Blogs.ams, Publicado el 8 de enero de 2021. (Consultado el 19 de Agosto 2022) https://blogs.ams.org/jmm2021/2021/01/08/did-bartok-use-fibonacci-numbers-in-his-music/