Los Fractales de Pollock

A través de la observación de la naturaleza es muy probable que nuestra mente la relacione de manera directa con la geometría. Por ejemplo, a veces vemos la repetición de secuencias de figuras en nuestra vida diaria y nos preguntamos sobre hasta dónde pueden llegar estas estructuras, buenos pues, este tipo de observaciones es lo que motiva a que se generen investigaciones más profundas sobre ellas para poder entender un poco más el mundo que nos rodea, tal es el caso de los fractales, pequeñas estructuras que se han encontrado donde menos lo esperamos. Lo que para algunos es sólo es recopilación de conocimientos, para los artistas se transforma en una inspiración escondida para generar su propia interpretación, como en el caso de Jackson Pollock, artista que emplea fractales en sus obras a través de una técnica muy peculiar.

¿Qué es un fractal?

Del latín fractus que significa fracturado, llega este término matemático a innovar la geometría, ya que cuenta con las siguientes propiedades:

• Autosimilitud: Lo que significa que sus figuras se repiten a sí mismas muchas veces dentro de ella y aumentan su longitud. Existen dos tipos:

1. Exacta: Muestra una repetición de patrones que es exacta a cualquier nivel de la imagen, como se observa en la figura

2. Estadística: Los patrones no son exactos, pero se repiten características estadísticas. Estos son los que vemos en la naturaleza o en las pinturas de Jackson Pollock

Fig.1 Árbol Fractal creando un ángulo

2/11𝜋 y razón de 0.75.

• Su dimensión fractal es mayor a su dimensión topológica: La dimensión topológica puede definirse como la dimensión euclidiana de cada objeto, por ejemplo, en la definición del punto su dimensión correspondiente es de 0, en la recta es 1, un plano 2 y del espacio será 3, como se observa en la fig. 2, pero la dimensión fractal está entre estas dimensiones enteras de manera que puede expresarse como una fracción decimal.

Fig. 2 Relación entre las dimensiones euclidiana y fractal de algunos objetos

Los fractales son encontrados en hojas, rayos e inclusive el hielo, así entre más nos acercamos a nuestro entorno más las observamos.

¿Quién fue Jackson Pollock?

Paul Jackson Pollock (1912-1956) fue un artista estadounidense, conocido por ser de los principales fundadores del expresionismo abstracto. Nacido el 28 de enero de 1912 fue el más pequeño de sus hermanos, decidió ir a estudiar en New York gracias a uno de sus hermanos que lo guío por el camino del arte. Investigando se encontró con varias obras del muralismo mexicano y en especial de José Clemente Orozco, quedando encantado con el estilo que se usaba y tomándolo para adaptarlo a sus próximas obras. Empezó haciendo pinturas realistas que representaban diversas escenas, pero en 1947 se decidió a que su composición consistiría en pura abstracción, posteriormente su estilo tomó un retorno a figuras en blanco y negro. Se caso con una pintora llamada Lee Krasner en 1945, pero el 11 de agosto de 1956 falleció por un accidente de automóvil, ya que se encontraba en estado de ebriedad, junto con una mujer y su amante quien fue la única en sobrevivir el fatídico día. Después de su muerte se creó una fundación en 1985 llamada “Pollock Krasner Fundation” en donde se apoya a artistas que trabajan de manera individual y necesitan apoyo económico, dejando esto como su legado.

Jackson y su legado artístico

Jackson Pollock fue un pionero en cuanto a nivel técnico y material se refiere, usaba las técnicas dripping (chorreo de pintura llamada) y pouring (el derrame de pintura), no fue el primero en utilizar dichos procedimientos, pero al espectador le atraía la radicalidad de sus obras junto con la fuerza con la que implemento estos métodos. Sus obras tuvieron una demanda tal que actualmente alcanzan costos multimillonarios, esto generado por su técnica que dio paso al arte moderno. Durante su carrera realizó alrededor de 400 pinturas de su autoría, además de bocetos y un estudio de manchas. El proceso que eligió para realizar sus obras era innovador, ya que escogía lienzos que tuvieran un gran tamaño para ponerlos en el suelo de su estudio (Fig. 3), esto para lograr moverse con facilidad y poder tener una perspectiva de cada lado del cuadro, así se acercaba a sus obras y lograba formar parte de su creación. Leohnard Emmerling, historiador del arte, relata que el proceso de Pollock era parecido a la forma de trabajo con un rito de los indios americanos que pintaban con arena en el suelo ya que de esta forma lograban que juntan la mente con el espíritu.

Muchas personas tienen la idea errónea que las obras de Pollock son incontroladas y casuales, por el contrario, él estudiaba exhaustivamente sus obras y con su experiencia lograba control de sus técnicas que mostraban que sus obras eran conscientes y precisas. Cortaba, si era necesario, sus obras y también rehacía su trabajo por completo hasta conseguir las pinceladas correctas para reflejar sus ideas.

En el proceso de sus obras escuchaba música, se inspiraba y a través del baile hacía pinceladas, permitiéndose fluidez, líneas sueltas y variadas que van de un lado a otro con movimiento y fuerza, mostrando cierto sentido del ritmo. Así, lo que Pollock realizaba era la expresión de sus sentimientos con colores y trazos, separándose de objetos reales y reconocibles.

Pintando fractales.

“Los ritmos de la naturaleza son los que me importan”

Jackson Pollock

En 1999, dos científicos de origen australiano, investigando los cuadros de Pollock, encontraron que sus pinturas mantenían la característica de autosemejanza, la cual siendo más metódicos significaba que sus cuadros contenían estructuras fractales, por su técnica única de manchado en y el goteo de la pintura en ellos.

La dimensión fractal se define como un número real que generaliza el concepto de dimensión ordinaria para objetos geométricos que no admiten espacio tangente. Las figuras fractales logradas por Pollock no son una línea ni un plano. Es un objeto que vive entre estas dos dimensiones. Siendo una de ellas la nuestra y la otra es la dimensión del fractal que nos hace replantearnos la idea de que tan completa es la figura y que tanto llena el espacio. Es útil para comparar estructuras complejas que como en este caso a simple vista se puede creer que no se tiene nada en común. Pero la dimensión nos brinda información sobre el proceso que dio espacio al fractal.

Al hacer un estudio a sus lienzos, se observa que a lo largo del tiempo pasó de tener estructuras fractales, en los años 40 eran poco mayores a 1, mientras que en 1957 con sus patrones caóticos conseguía la dimensión 1.9, la dimensión fractal hace referencia al índice estadístico de complejidad sobre el detalle del patrón, mientras mayor sea la dimensión fractal mayor es el detalle de dichos patrones.

Se puede observar que la técnica avanzo de tal modo que la dimensión fractal de las manchas de color dan información de una estructura de tonalidades particular en el plano. De esta forma, al haber vendido cuadros en una época donde no existía tanto comercio para las obras y tener pinturas perdidas, con el análisis de su técnica y de los materiales que se utilizaron, pueden emitirse juicios con pruebas para verificar si es una obra original.

Observemos en el cuadro Alquimia que las pinturas de goteo de este período se caracterizan por tener dimensiones fractales cercanas a 1,5. Londres, 1999.

La pintura “Polos Azules” alcanzo una dimensión de 1,72, siendo su cuadro más complejo y reiterando que los movimientos de este artista eran controlados y sistematizados perfeccionando su técnica. Un dato interesante es que esta pintura estuvo en controversia por su adquisición en 1972 donde la Australian National Gallery adquirió la obra por 1.3 millones de dólares.

Para observar los fractales en las pinturas de Pollock lo primero que se hace es digitalizar la pintura en cuestión, posteriormente se separa en diferentes patrones cromático y se analiza cada uno de ellos. También se analizan los patrones que se generan al poner algunas pinturas sobre otras. Seguido esto se pone una malla con cuadrícula al fondo de los patrones, mientras más se ajuste el tamaño de esta cuadrícula se observan las características estadísticas escalas menores y así se descubre que los patrones son fatales en el intervalo analizado. Sin intenciones se generaba una red fractal, donde al crear manchas se generaba más y mientras se extendía generando los mismos patrones.

“Los famosos goteos y mañas de este artista crean motivos fractales, similares a los que árboles, nubes y costas forman en la naturaleza”- Richard B. Taylor posterior al análisis de las obras. Al final este artista no estaba alejado

Referencias 

1. Taylor, R. P., Micolich, A. P., & Jonas, D. (1999). Fractal expressionism. Physics World, 12(10), 25.

2. Taylor, R. P., Guzman, R., Martin, T. P., Hall, G. D. R., Micolich, A. P., Jonas, D., ... & Marlow, C. A. (2007). Authenticating Pollock paintings using fractal geometry. Pattern Recognition Letters, 28(6), 695-702.

• Taylor, R. P., Micolich, A. P., & Jonas, D. (1999). Fractal analysis of Pollock's drip paintings. Nature, 399(6735), 422-422.

• Fernando Corbalán. (2017). Las matemáticas escondidas detrás de las pinturas de Jackson Pollock. 6 de septiembre de 2022, de ABC Ciencia. Sitio web: https://www.abc.es/ciencia/abci-matematicas-escondidas-detras-pinturasjacksonpollock-201712180942_noticia.html Taylor, R. B. (2003). Orden en el caos de Pollock. Investigación y ciencia, (317), 70-75