Maurits Escher, Sobre lo Dual, lo Simétrico y lo Imposible.

Sobre la esencia de la dualidad.

Dualidad, un término familiar para los matemáticos, es utilizado para traducir conceptos, teoremas y objetos matemáticos en otros conceptos, teoremas y objetos matemáticos respectivamente. Es de suma importancia pues ofrece nuevas definiciones y nos aporta nuevos enfoques para la solución de problemas. Algunos ejemplos de la dualidad en las matemáticas son: la noción de conjunto y complemento utilizados en el álgebra, las afirmaciones y negaciones empleadas en la lógica e incluso la podemos notar en objetos matemáticos tan básicos como lo son los puntos y las líneas que se usan en la geometría. Sin embargo, para Escher este concepto filosófico también sería de vital importancia para su trabajo, puesto que este ofrecería oposición de ideas, percepciones y formas que se complementarían una de la otra e incluso cambiaría la forma de percibir la posición en que se encuentran las figuras, si estas son fondo, son suelo o son cielo.

La esencia de la dualidad que manejaba Maurits con respecto a la percepción está en que dadas dos formas que se definen mutuamente, el conocer una de estas es suficiente para conocer la otra forma. Sin embargo, muchas veces es difícil o imposible percibir ambas formas simultáneamente de una manera clara.

Un ejemplo de la dualidad que percibimos la podemos encontrar en la famosa “Copa de Rubin”, una ilusión óptica que nos presenta una percepción doble, por un lado, si nos enfocamos en la figura blanca podemos distinguir una copa y, por el contrario, nos enfocamos en las figuras negras podemos ver dos rostros humanos que se miran frente a frente. No obstante, al intentar ver toda la composición en conjunto solo podemos percibir una interpretación a la vez, es decir estas figuras alternan en nuestra mente dependiendo de si están enfocadas o no son interpretaciones que compiten entre sí para ser reconocidas ante el ojo humano.1

Escher quedó fascinado por este concepto, por lo que empieza a realizarse preguntas y se plantea si existe la posibilidad de crear imágenes compuestas de figuras reconocibles que no posean un fondo. Es tanta la determinación por entender este tipo de conceptos que incluso consulta a expertos en el tema. Para este caso particular recurre al Dr. J.W Wagannar, un oftalmólogo interesado en el tema de la percepción, gracias a su ayuda Escher comprende mucho mejor este tipo de composiciones visuales y se percata que no es posible crear figuras distinguibles que no posean un fondo, pero a pesar de esto nota que se pueden realizar composiciones en las que el fondo y la figura cambian funciones de manera alternada, composiciones en las que el fondo también tome el papel de figura distinguible. En otras palabras, se pueden crear imágenes que no poseen un equilibrio visual entre fondo y figura, pero que a su vez si poseen una dinámica entres estos, la cual es una competencia constante en la que se determina cuál de estas es reconocida, si el fondo o la figura.

Al entender esto, Escher está preparado para reflejar y plasmar estos en las losas de sus dibujos e impresiones, y concluye que

“Dado que, al parecer, dos unidades (losas o azulejos) que limitan sus bordes entre sí no pueden funcionar simultáneamente en nuestra mente, basta con una línea divisora para determinar la forma y el papel que tomarán ambas unidades.” 1

Tras muchas pruebas y errores y con suficiente meditación y paciencia Escher logra dominar estos conceptos y esto lo podemos ver a través de sus obras, en varios de sus dibujos realizados a mano podemos observar cómo las losas que son adyacentes compiten entre sí por ser figura o fondo. Sin embargo, Escher llevó sus saberes a otro nivel y nos damos cuenta de esto en sus impresiones, en las que también utiliza fragmentos de estas losas, con la particularidad de que aparte de enfatizar la dualidad de sus figuras, también resalta su individualidad. Un ejemplo que ilustra esto de forma clara es su famosa impresión “Cielo y Agua I”, en la que vemos como las figuras planas son duales entre ellas, que conjugan ideas opuestas, mar y cielo, blanco y negro, fondo y figura, es una composición en la que sus componentes compiten entre sí, y que a pesar de esto van adquiriendo su individualidad y ganando su independencia.

Durante un viaje que realizó a Alhambra en Granada, España, Escher se maravilló por la decoración en azulejo de mayólica (losa de cerámica decorada con reflejos metálicos, originalmente estaño y plomo), losa que además de ser visualmente llamativa poseía una gran complejidad geométrica, esto fue uno de los detonantes que hicieron que Escher despertara un interés en la simetría, en las formas de dividir y recubrir el plano de maneras periódicas (lo que hoy conocemos como teselaciones) y en la fabricación de sus propios azulejos. Maurits Escher deja de adquirir inspiración de los paisajes montañosos, de la naturaleza y la arquitectura y ahora se inspira de un mundo mas abstracto, un mundo que se rige por la simetría.2

Más tarde Escher, en su búsqueda por entender la simetría, los planos y los teselados recibió ayuda por parte de su medio hermano George Escher, quien le proporcionó un listado de artículos científicos que podrían ser de utilidad para el entendimiento y desarrollo en el estudio de los azulejos, pero de esta lista de artículos, Escher solo se concentró en dos, uno escrito por F. Haag y el otro por el matemático G. Pólya.

El artículo de Pólya tendría una fuerte influencia en la mente de Escher, pues este estudiaría el texto completo y recrearía a mano las ilustraciones que Pólya utilizaba para mostrar los diecisiete grupos de simetrías y que también le aportarían una mejor noción de como funcionan las cuatro isometrías del plano (traslación, rotación, simetría axial y reflexión desplazada). Como es de imaginarnos ya no sólo tendría las nociones empíricas de cómo utilizar la simetría y se percataría de que a pesar de la infinidad de diseños con los que se puede cubrir el plano, existen solo estos diecisiete grupos de simetrías distintos. A pesar de que Escher no podía entender todo el rigor matemático que portaba el articulo de Pólya, esto no lo detuvo para desarrollar teoría, explicaciones y construcciones sobre el como hacer uso de las diecisiete simetrías planas, esto nos muestra como Escher se acercaba fuertemente a las matemáticas sin tener el conocimiento del lenguaje especifico con el que estas se escriben.4

Rápidamente, Escher dominó las construcciones de los azulejos y siguió haciéndose preguntas que los llevarían cada vez más lejos tanto en el arte como en las matemáticas. Pronto se preguntó como recubrir el plano con las figuras, que estuvieran relacionadas entre sí, pero que además su tamaño fuera cambiando de una manera regular y constante. Es así como Escher se empieza a interesar por conceptos como: el plano hiperbólico, curvas elípticas y uno de los conceptos matemáticos más problemáticos de todos lo d tiempos, el infinito.4

Sobre el infinito y lo imposible.

Con Escher nos encontramos con conceptos muy interesante de la matemática, esta vez estamos hablando del infinito y de las figuras imposibles.

Empecemos hablando del infinito, un concepto con el que los matemáticos siempre han tenido problemas, por ejemplo, los hoteles de Hilbert, los teoremas de completez, la comparación entre infinitos “grandes” y “pequeños”, la paradoja de Zenón (Aquiles y la tortuga). La simple esencia del infinito conflictúa la mente humana, pues es difícil imaginarse cosas de nuestro universo que sean visiblemente infinitas. Sin embargo, el infinito no sólo nos ofrece problemas, también nos ofrece herramientas útiles, estructuras lógicas completas y en el caso particular de Escher nos ofrece retos mentales.

Como ya hemos visto la geometría es parte esencial en el arte de Escher y el infinito aplicado en la geometría no es un concepto ajeno a él, pues en sus obras podemos ver como Escher es diestro al representar infinitos en lienzos planos jugando en lo que la geometría proyectiva conoce como puntos de fuga o en su defecto puntos al infinito. Pero sin duda, una de las características más destacables y sorprendentes en su obra es la creación de azulejos que encapsulaban al infinito mismo en un plano limitado, pero, ¿Cómo hacía esto Escher?

Si lo pensamos, es fácil entender que es imposible cubrir o llenar de figuras un plano infinito. Sin embargo, Escher lograba hacerlo, o bien, nos hace pensar que puede hacerlo. Lo que hace realmente es que dibujaba sobre una superficie compacta o un plano limitado, figuras que encajaran una con la otra y que al mismo tiempo estas fueran aumentando o disminuyendo su tamaño según el plano que pretendía llenar, de esta manera Escher lograba capturar al infinito, justo en las figuras tan pequeñas que se volvían indistinguibles e incontables, pero esto no es una simple coincidencia o un don meramente otorgado a Escher, como ya hemos visto Escher era una persona obsesiva por los conocimientos, que estudiaba matemáticas sin siquiera ser un experto en el lenguaje particular de esta. Como anteriormente vimos Escher estudió la simetría a fondo y esto le permitió crear sus propia teorías y técnicas para la construcción de azulejos, en su estudio por la simetría, amplió sus horizontes y llegó a dominar el método que le permitiría capturar al infinito, un método que se basa en una simple sucesión

Esta sucesión es muy bonita y peculiar, es una sucesión en la cual, si tomamos una n muy grande, tan grande que esta tienda a infinito, entonces la sucesión convergerá a cero, pero además tiene la peculiaridad de que si sumamos todos sus términos es igual a uno. Esto al interpretarlo en el arte de Escher nos dice que el área de las figuras son términos en la sucesión y la suma de todas estas áreas es igual a la unidad, por lo tanto, podemos tener toda una unidad (un plano o superficie limitada) de áreas (figuras) infinitas. Un ejemplo claro de esto es su grabado Circulo Límite IV.4

Inspirado por los conocimientos matemáticos, Escher se interesa por un concepto bastante interesante en la física, la química y en la topología, una rama de la matemática dedicada al estudio de propiedades pertenecientes a cuerpos geométricos que permanecen inalteradas por transformaciones continuas, con esto nos referimos a la enigmática cinta de Möbius.

La cinta de Möbius es un cuerpo geométrico, cuya superficie solo posee una sola cara y solo un borde y que además tiene la propiedad matemática de ser un objeto no orientable, es decir que es imposible establecer cual parte del objeto es la parte de arriba, abajo, adentro o afuera.

El concepto de orientabilidad posee implicaciones relevantes en diferentes campos de estudio, como la física y la química, sin embargo, también este es un concepto interesante en el arte y Escher nos lo demuestra plasmando las propiedades de la cinta de Möbius en sus obras, pues nos muestra impresiones de figuras imposibles, donde la orientación y la lógica es nula, figuras que nos incitan a pensar fuera del espacio en el que nos sentimos cómodos.

Dos impresiones en las que podemos apreciar las características de la cinta de Möbius es en la litografía “Ascenso y Descenso”, una obra en la que podemos apreciar a un hombre que baja al subir unas escaleras y otro hombre que sube al bajar estas mismas, la segunda obra es “Cinta de Möbius II (Red de Hormigas)” una impresión en la que literalmente podemos ver una cinta de Möbius siendo recorrida por una o unas hormigas, ambas obras encapsulan muy bien el concepto de la enigmática cinta de Möbius y nos hacen un guiño a la noción del infinito.

Entre la matemática y el arte

Como hemos visto Escher es un ejemplo de que la matemática no es ajena al arte ni viceversa, un artista que nos plasma la belleza de la matemática de una manera concisa y no tan rigurosa como la que estamos acostumbrados a leer. Sin duda una mente que lleva la dualidad inherente en si misma y que nos muestra realidades imposibles, que nos hace dudar si el piso es techo o el techo es piso y más importante aún, nos hace ver las cosas desde más de una perspectiva, una filo

Referencias 

• The Mathematical Side of M. C. Escher, Doris Schattschneider, 2010.

• On The Appeal Of M. C. Escher’s Pictures, Jean C. Rush, 1979.

• Lessons in Duality and Symmetry from M. C. Escher, Doris Schattschneider, September 2017

• Escher I: Las matemáticas para construir, Capi Corrales Rodrigáñez, 2005.

• 2022, The M. C. Escher Company B.V, https://mcescher.com